Métodos numéricos básicos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Las funciones lineales y sus sistemas constituyeron el punto inicial de estudio del Algebra Lineal. Hoy día el tratamiento de estas cuestiones involucra un gran número de conceptos y conocimientos de esta rama de las Matemáticas, que tuvieron su origen en otros tipos de problemas. De esta forma al analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales hay que poner en juego una amplia gama de conceptos y técnicas del Álgebra Lineal. Por otra parte, parece incuestionable que al aplicar las matemáticas a problemas de la técnica, dado el volumen de variables y de relaciones que entre ellas que suelen aparecer, se requiere un tratamiento discreto. Muy particularmente, los sistemas de ecuaciones lineales que se presentan en la práctica suelen ser de grandes dimensiones, por ello es necesario conocer no solo el tratamiento típicamente algebraico del problema, sino también los distintos métodos numéricos con los que podrá abordarse, así como discernir la idoneidad de cada uno de ellos, en función de las características del problema planteado. La cuestión de encontrar métodos sencillos y efectivos para resolver tales sistemas, cuando tienen un gran número de ecuaciones e incógnitas, sigue siendo objeto de interés, pues las soluciones numéricas de tales ecuaciones son de especial importancia en problemas técnicos cuya modelización es lineal. Presentamos una panorámica general de los métodos básicos, tratando su fundamentación matemática y los problemas de índole práctico que pueden aparecer, así como criterios sobre los que efectuar una valoración de la oportunidad de hacer una elección determinada, dependiendo de la situación problemática planteada. Se incluye un apéndice con las “rutinas usuales” en código C. Los conocimientos necesarios para abordar la lectura de este libro son los correspondientes a un curso de Álgebra Lineal. No obstante, deseando que el trabajo sea lo más autocontenido posible, se ha introducido un capítulo sobre el estudio general de los sistemas de ecuaciones lineales. Con el mismo criterio, se ha justificado con notas a pie de página aquellos resultados del Álgebra Lineal que pudieran estar más en el olvido, este es el caso de algunas propiedades relativas a los autovalores

Análise de fluxo de carga : técnica de abordagem por representação polar, retangular e por injeção de corrente

Monografia (graduação)—Universidade de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica, 2013.A crescente demanda de energia elétrica influencia no modo como o sistema elétrico de potência (SEP) é aprimorado frequentemente. O estudo do fluxo de carga é de vital importância para a análise de todo o sistema. Manter este fluxo adequado evita perturbações nas redes e podem causar transtornos maiores. Quanto mais conectado o sistema, maior a chance de um problema considerado isolado causar transtornos em outras regiões. No presente trabalho, primeiro é apresentado uma descrição teórica dos conceitos estudados e analisados com intuito de mostrar um esclarecimento sobre os temas propostos. Em seguida, foram feitas diversas análises e simulações em 3 sistemas com o intuito de analisar as consequências que a alteração de um parâmetro pode causar em um SEP. No decorrer do projeto, foram feitos 2 códigos computacionais utilizando o Método de Newton-Raphson (NR) e a ferramenta computacional Matlab® 2012 para que simulações de Margem de Estabilidade pudessem ser analisadas por uma forma diferente do Método Convencional de NR

Grups de trenes, representació de Burau i categorificació de Khovanov-Seidel

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2023, Director: Ricardo García López[en] The braid group, together with its representations, is a fascinating mathematical structure, studied from different fields, such as group theory, topology... Moreover, it is a theory that extends beyond itself, with relations that go from the theory of knots and their invariants to concepts of theoretical physics. The main objective of the paper is the introduction of the notion of the braid group, the Burau representation and a categorification of it. We will begin by presenting braids as a mathematical structure and the different ways of interpreting the group they form. Then, we introduce the non-reduced and reduced Burau representations. This family of representations is faithful for $n4$, it is unknown if it is faithful for $n=4$. In this work, the case $n=5$ is not studied. Finally, the Seidel-Khovanov categorification of the Burau representation is presented, which, curiously, is faithful for all $n$

Validação do cálculo de dados petrofísicos com base na caracterização de rochas de reservatório

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, Florianópolis, 2012Esta dissertação tem como objetivo avaliar os cálculos de escoamento monofásico e o comportamento capilar das redes de poros e gargantas baseadas em raios exatos. O modelo usando raios exatos aborda modificações na formação da rede que precisam ser verificadas e analisadas para uma utilização mais confiável dessa abordagem. Para isso é efetuado um levantamento de dados referentes às permeabilidades absolutas, usando métodos bem documentados na literatura, para um conjunto amostral de rochas de reservatório. Após isso é verificado o comportamento da pressão capilar e a formação de resíduo no interior da rede de poros e gargantas. A comparação é realizada através de métodos computacionais desenvolvidos para este propósito. Os testes são feitos de maneira direta, os valores obtidos têm o objetivo de auxiliar o especialista na interpretação das amostras estudadas. Não será apontado qual método é o mais adequado para cada situação, mas sim, apresentados caminhos alternativos de análise e auxílio para avaliação criada pelo geólogo.<br

Simulação computacional de eventos termo-hidraulicos transitorios em multicircuitos com multibombas

Orientadores: Roger Josef Zemp, Paulo de Carvalho TofaniTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia QuimicaResumo: O programa computacional P ANTERA-2 (Programa para Análise Termo-hidráulica de Reatores a Água, Versão 2), cujos fundamentos são descritos neste trabalho, efetua a análise por subcanais de feixes de varetas em conjunção com a simulação de múltiplos circuitos. O programa resolve simultaneamente as equações de conservação da massa, dos momentos axial e lateral e da energia para a geometria de subcanais acopladas com as equações de balanço que descrevem o escoamento de um fluido em um número arbitrário de circuitos de remgeração conectados a um vaso de pressão que contém o feixe. Atendo-se à formulação de subcanais, a estratégia computacional básica de P ANTERA-2 provém dos códigos COBRA, mas um método implícito alternativo de solução orientado para o campo de pressões é usado para resolver as aproximações de diferenças finitas das leis de balanço. Os resultados previstos pelo modelo de subcanais compreendem as distribuições de densidades, entalpias, vazões de massa e pressões nos subcanais. O modelo de circuitos prevê as vazões nos circuitos individuais, a vazão total através do vaso de pressão e as velocidades de rotação das bombas em função do tempo subseqüente à falha de qualquer número das bombas de circulação. Os transitórios de vazão nos circuitos podem ser ocasionados pelas perdas de potência elétrica, ruptura de eixos e travamento de rotores das bombas. As variações nas velocidades de rotação das bombas em função do tempo são determinadas através de um balanço de torques. A altura de recalque e o torque hidráulico das bombas são calculadas em função da velocidade e da vazão com duas curvas homólogas polares fornecidas ao programa na forma tabular. Para ilustrar a capacidade analítica de P ANTERA-2, três problemas-exemplo são apresentados e discutidos. Comparações entre resultados calculados e medidos indicam que o programa reproduz com boa precisão dados experimentais de temperaturas de saída de subcanais e de fluxos de calor críticos em feixes de 5x5 varetas. Observa-se támbém uma boa concordância entre as curvas teóricas previstas por P ANTERA-2 e valores medidos para as velocidades de rotação das bombas e vazões de massa nos circuitos primários da central nuclear Angra-2, quando suas quatro bombas principais são simultaneamente desligadas para simular o evento de declínio de vazão. Palavras-chave: análise por subcanais, código de subcanais, códigos cobra, análise de circuitos de escoamento, acidente de falha de bombasAbstract: PANTERA-2 (from Programa para Análise Termo-hidráulica de Reatores a ÁguaProgram for Thermal-hydraulic Analysis of Water Reactors, Version 2), whose fundamentals are described in this work, is intended to carry out rod bundle subchannel analysis in conjunction with multiloop simulation. It solves simultaneously the conservation equations of mass, axial and lateral momentum, and energy for subchannel geometry coupled with the balance equations that describe the fluid flows in any number of coolant loops connected to A pressure vessel containing the rod bundle. As far as subchannel analysis is concemed, the basic computational strategy of P ANTERA-2 comes from COBRA codes, but an altemative implicit solution method oriented to the pressure field has been used to solve the finitedifference approximations for the balance laws. The results provided by the subchannel mode1 comprise the fluid density, enthalpy, flow rate, and pressure fields in the subchannels. The loop model predicts the individualloop flows, total flow through the pressure vessel, and pump rotational speeds as a function of time subsequent to the failure of any number of the coolant pumps. The flow transients in the loops may initiated by partial, total or sequentialloss of electric power to the operating pumps. Transient events caused by either shaft break or rotor locking may also be simulated. The changes in rotational speed of the pumps as a function of time are determined from a torque balance. Pump dynamic head and hydraulic torque are calculated as a function of rotational speed and volumetric flow from two polar homologous curves supplied to the code in the tabular form In order to illustrate the analytical capability of P ANTERA-2, three sample problems are presented and discussed. Comparisons between calculated and measured results indicate that the program reproduces with a good accuracy experimental data for subchannel exit temperatures and critical heat fluxes in 5x5 rod bundles. It is also observed a good correspondence between the theoretical curves predicted by P ANTERA-2 and measured values for pump rotational speeds and mass flow rates in the primary loops of Angra-2 nuclear power plant, when the four main coolant pumps are simultaneously switched off to simulate the flow decline eventoDoutoradoSistemas de Processos Quimicos e InformaticaDoutor em Engenharia Químic

Modelització dinàmica d'un cable superconductor

En aquest Projecte Fi de Carrera es desenvolupa el model din amic d'un cable superconductor per el transport i distribució d'energia el ectrica. De la necessitat de realitzar estudis dinàmics del comportament de la xarxa sorgeix la necessitat de modelar dinàmicament els elements que componen un sistema elèctric. Per portar a terme aquest treball s'ha utilitzat el llenguatge de programació FORTRAN ja que es el que utilitza el programa PSSTME. Amb aquest llenguatge es programa el model din amic que s'introdueix al PSSTME mitjan cant una llibreria din amica. El comportament dels cables superconductors no difereix substancialment dels convencionals o d'una l nia a eria. La difer encia consisteix en que el valor de la resist encia que ofereix el cable al pas del corrent varia segons la intensitat que circula per ell i de la temperatura del material superconductor. A m es, les p erdues del cable no segueixen el comportament cl assic (efecte Joule, llei de Ohm). L'objectiu d'aquest treball es, a partir de les equacions que regeixen el comportament dels materials superconductors, obtenir el modelat i poder observar el comportament din amic d'un sistema el ectric integrant cables superconductors. Una vegada s'ha obtingut el model, s'ha integrat a una xarxa de proves i s'ha comprovat el comportament del model del cable superconductor. Finalment s'ha comparat el comportament del sistema el ectric instal lant un cable superconductor i un convencional treballant en antena, simulant la con guraci o t pica de la xarxa de distribuci o

Optimización convexa : aplicaciones en operación y dinámica de sistemas de potencia

La optimización convexa tiene una fundamentación teórica sólida y un rango de aplicación amplio. Por tanto, estudiaremos primero el aspecto teórico antes de adentrarnos en sus aplicaciones. En general, los modelos de optimización convexa incluyen a los problemas de PL y algunos de PNL. Sin embargo, otros tipos de problemas pueden ser solucionados mediante las técnicas de optimización convexa usando aproximaciones adecuadas, esto dependerá del tipo de aplicación. El libro esta orientado a estudiantes de Ingeniería Eléctrica/Electrónica que tengan conocimientos básicos en álgebra lineal y cálculo multivariado. Un primer curso de programación lineal podría ser un complemento adecuado aunque no obligatorio, ya que el libro busca ser autocontenido, partiendo de conceptos tan básicos como el criterio de la derivada hasta terminar en metodologías avanzadas como suma de polinomios cuadráticos y programación semidefinida. Cada capítulo incluye demostraciones y ejemplos de aplicación, y finaliza con ejercicios y lecturas complementarias. Hemos optado por un número limitado tanto de ejercicios como de referencias bibliográficas con el objetivo de no saturar al estudiante con contenido innecesario o ejercicios repetitivos. En los primeros capítulos, dichos ejercicios son básicamente geométricos pero más adelante se presentan ejemplos y ejercicios orientados a los sistemas eléctricos. La estructura del libro busca una fundamentación teórica sólida con aplicaciones prácticas en Ingeniería Eléctrica. Se recomienda al estudiante hacer experimentos numéricos en diferentes lenguajes de modelado con el fin de adquirir intuición de los modelos. Citando al matemático Vladímir Arnold, «la matemática es una ciencia aplicada, simplemente es la ciencia en donde los experimentos son más baratos»

A study about solving non-linear systems : theoretical perspectives and applications

Orientador: José Mario Martínez PérezTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O objetivo deste trabalho é estudar e analisar diferentes abordagens para resolver sistemas não lineares. Em primeiro lugar, uma versão esparsa do método de Newton é aplicada para encontrar uma solução do problema de complementaridade horizontal não linear (HNCP) associado a uma solução viável do problema de programação matemática com restrições de complementaridade (MPCC). O algoritmo combina direções do tipo Newton e Gradientes Projetados com um procedimento de busca linear que garante convergência global a um ponto estacionário da função de mérito associada a este problema. Convergência local quadrática é estabelecida sob hipóteses razoáveis. Experiência numérica em problemas teste de uma coleção bem conhecida ilustra a eficiência do algoritmo para encontrar soluções viáveis de MPCC na prática. Em seguida, uma estratégia quase-Newton para acelerar a convergência de iterações de ponto fixo é analisada. Para isso, atualizações secantes clássicas são consideradas. Experimentos numéricos em um conjunto treino são desenvolvidos, a fim de validar esta estratégia. Posteriormente, a estratégia quase-Newton é aplicada ao problema prático de representar o comportamento cinético de um marcador PET (Tomografia por Emissão de Pósitrons) durante a perfusão cardí­aca. O desempenho do método quando aplicado a problemas com dados reais é ilustrado numericamente. Finalmente, um método hí­brido que combina direções de Newton e Homotopia é introduzido para resolver problemas onde o método de Newton apresenta dificuldades. Experimentos iniciais constituem uma base para validação da técnica apresentadaAbstract: The aim of this work is to study and analyse different approaches for solving nonlinear systems. First of all, a sparse version of Newton's method is applied for finding a solution of a horizontal nonlinear complementarity problem (HNCP) associated to a feasible solution of a mathematical programming problem with complementarity constraints (MPCC). The algorithm combines Newton-like and Projected-Gradient directions with a line-search procedure that guarantees global convergence to a stationary point of the merit function associated to this problem. Local quadratic convergence is stated under reasonable hypothesis. Numerical experience on test problems from a well-known collection illustrates the efficiency of the algorithm to find feasible solutions of MPCC in practice. Next, a quasi-Newton strategy for accelerating the convergence of fixed-point iterations is analysed. For that, classical secant updates are considered. Numerical experiments on a training set are developed in order to validate this strategy. After that, the quasi-Newton strategy is applied on the practical problem of represent the kinetic behavior of a PET (Positron Emission Tomography) tracer during cardiac perfusion. The performance of the method when applied to real data problems is illustrated numerically. Finally, a hybrid method combining Newton and Homotopy directions is introduced for solving problems where Newton's method presented difficulties. Initial experiments provide a basis for the presented technic validationDoutoradoMatematica AplicadaDoutora em Matemática Aplicada2012/10444-0FAPESPCAPE

Caracterización de la contaminación atmosférica debida a aportes antropogénicos y naturales mediante la aplicación de modelos de mixturas finitas, de Markov homogéneos y otras técnicas de minería de datos

Son cuantiosos los recursos científicos que se dirigen al estudio de las fuentes de emisión de contaminantes atmosféricos en las áreas urbanas. Este estudio puede ser cuantitativo, determinando la contribución de cada fuente a la contaminación ambiente, o cualitativo, para conocer más sobre la composición de las emisiones que afectan a los residentes en las ciudades. En los países mediterráneos, además, la contaminación causada por fenómenos naturales, como el transporte de polvo desde las regiones áridas del Norte de África, también es de primordial importancia. Entre los instrumentos fundamentales de los que se dispone para medir la contaminación atmosférica, se encuentran las redes de vigilancia de la calidad del aire, integradas por estaciones de medida que se sitúan tanto en ambientes urbanos como en el medio rural, con el fin de determinar e informar sobre la calidad del aire que nos afecta. En las ciudades, algunas de estas estaciones de medida se sitúan en emplazamientos fuera del alcance directo de fuentes de emisión, para determinar la contaminación de fondo urbano, representativa de la exposición a la que la población se expone de forma general. Esta tesis ha tenido como objetivos los siguientes: 1. La caracterización exhaustiva de la contaminación atmosférica en entornos urbanos y rurales empleando la información obtenida de las redes de vigilancia de la calidad del aire, desarrollando para ello una metodología general para la gestión eficiente de las redes de monitorización. 2. Mejorar la metodología existente para la estimación del aporte de polvo transportado por las masas de aire cálido desde las regiones norteafricanas. 3. Comparar los niveles de contaminación atmosférica entre diferentes redes de monitorización urbanas, sin influencia industrial y localización geográfica distinta, proponiendo para ello una metodología con la que caracterizar la contaminación atmosférica ambiental y de fondo. Los resultados de esta tesis, apoyados en cada uno de estos objetivos, están avalados, respectivamente, por las siguientes publicaciones: 1. Gómez-Losada, Á., Lozano-García, A., Pino-Mejías, R., Contreras-González, J. 2014. Finite mixture models to characterize and refine air quality monitoring networks. Science of the Total Environment, 485-486: 292-9. 2. Gómez-Losada, Á.,Pires,J.C.M.,Pino-Mejías,R.2015.Time series clustering for estimating particulate matter contributions and its use in quantifying impacts from deserts. Atmospheric Environment, 117: 271-81. 3. Gómez-Losada, Á., Pires, J.C.M., Pino-Mejías, R. 2016. Characterization of background air pollution exposure in urban environments using a metric based on Hidden Markov Models. Atmospheric Environment, 127: 255-61.A wealth of scientific resources have been dedicated to the study of the sources of pollutant emissions to air in urban areas. Such studies may be quantitative, determining the contribution of each source of environmental pollution, or they may be qualitative, providing insight into the makeup of the emissions that afect a city's inhabitants. In Mediterranean countries, contamination may also be the result of natural phenomenon, such as the ow of dust from the arid regions of North Africa, and are therefore of primary importance as well. The ow of particulate matter transcends these geographic areas, passing over the Atlantic Ocean and reaching the American coasts. Among the fundamental tools available for measuring air pollution are the air-quality monitoring networks, made up of monitoring stations located both in urban areas and rural environments, with the aim of providing information on the air quality that afects us. In cities, some of these monitoring stations are located on sites that are outside of the direct range of emission sources and thus the determination of the urban background pollution, which is indicative of the generalised exposure of the population to air pollution, is possible. The objectives of this thesis were the following: To exhaustively characterise the air pollutants in urban and rural areas using the information obtained from the air-quality monitoring networks. To this end, a general methodology was developed to efciently manage the monitoring networks; To improve the existing methodology used to estimate the contribution of dust originating in the North African region that is carried by waves of warm air; To compare the air-pollution levels between the diferent urban-monitoring networks unafected by industrial pollution, and between diferent geographic locations, proposing a methodology that can be used to characterise environmental and background air pollution. In order to fulil the First objective, the primary and secondary air-pollution monitoring data were modelled using finite mixture models. Based on the calculation of the first and second moments of these mixtures, hierarchical cluster analysis, imputation using random forests, and principal component analysis were used. This methodological approximation enabled the detection of duplications within the parameters monitored by the monitoring stations, thus allowing these networks to be reconfigured and enabling the economic resources invested in them to be optimised. For the second objective, hidden Markov models (HMM) were introduced and the diferent regimes or PM10 concentration profiles were described in some of the time series (TS) studied, enabling an estimation of the contribution of each of the profiles to environmental pollution. The new method proposed for estimating the natural contribution of PM10 improves upon the reference methodology used in the European Union (monthly moving 40th percentile method) in three ways - it avoids the use of empirical approximation, it applies modelling that is especially designed for the treatment of time-series data, and it allows for obtaining a con_dence interval for the contribution estimations for PM10. For the third objective, hidden Markov models were also used, in this case to define and characterise the environmental and background pollution caused by primary air pollution in diferent urban areas of diferent cities. The attributable fraction for background air pollution was estimated using a new procedure based on the first concentration profile defined by the HMMs in the TS. The ratio and diference between environmental and background concentrations were also studied

Contribuciones al Biplot Logístico Binario

[ES] Con los avances tecnológicos también se ha generado un crecimiento masivo en la cantidad y variedad de datos, esto brinda la oportunidad de tener una comprensión más profunda pero también introduce grandes desafíos estadísticos. Esto ha llevado a que se generen nuevas líneas de investigación que combinan los métodos estadísticos con los desarrollos en informática, y así implementar nuevas herramientas que permitan modelar y comprender conjuntos de datos complejos. Los métodos de ordenación y reducción de la dimensionalidad son utilizados con frecuencia porque permiten simplificar los análisis con la mínima pérdida de información. En este contexto, los métodos biplot son una variedad de técnicas multivariantes que permiten reducir y visualizar de forma simultánea la información de un conjunto de datos, y han contribuido al avance de la ciencia por más de cinco décadas. Los aportes realizados en los métodos biplot han permitido que las técnicas puedan ser aplicadas en diferentes áreas del conocimiento, facilitando la toma de decisiones. Inicialmente el biplot fue propuesto como una extensión del análisis de componentes principales basado en la descomposición en valores singulares y luego fue extendido para visualizar los resultados de otros métodos. Uno de estos se denomina biplot logístico, que es un tipo de biplot lineal para datos binarios que permite modelar la relación entre las variables observadas y las dimensiones del biplot a través de una curva de respuesta logística. Este trabajo presenta contribuciones para los casos donde la matriz de información es binaria, proponiendo métodos que faciliten el análisis para grandes volúmenes de información, haciendo un aporte novedoso al combinar el biplot logístico con los métodos de optimización aplicados en el contexto de machine learning y utilizando los desarrollos informáticos disponibles en la actualidad. En este proyecto se investiga y se propone una metodología basada en validación cruzada que es adaptada para el biplot logístico, con el fin de contar con un método que permita identificar el número de dimensiones que son apropiadas para ajustar el modelo. De este procedimiento se obtiene un error de entrenamiento y un error de validación que pueden ser ilustrados en una gráfica y así visualizar el valor apropiado para el número de dimensiones que debe ser elegido. De otra parte, con el fin de contribuir al proceso de análisis multivariante para matrices de datos binarias de tipo big data, se incorporan nuevas formulaciones que permiten obtener funciones de pérdida adecuadas para ajustar el biplot logístico cuando se tiene un alto volumen de datos. Para ello se realizan diferentes desarrollos teóricos que son postulados y demostrados en algunos teoremas. A partir de las funciones que permiten sustituir el problema de optimización por otro más simple, se realiza el desarrollo teórico para adaptar diferentes algoritmos que permiten estimar los parámetros del modelo. Asimismo, se explora un enfoque a partir de algoritmos basados en el gradiente conjugado. Para comparar el rendimiento de los algoritmos se usa un procedimiento de simulación que permite medir la capacidad que tienen los diferentes métodos para identificar el número de dimensiones del modelo y la habilidad que tienen para recuperar la matriz canónica de parámetros en escenarios con matrices balanceadas y en otros donde la matriz de datos está desequilibrada. Partiendo de que la matriz de datos binaria puede estar incompleta, se incorpora una metodología que permite dar un tratamiento a los datos faltantes. Esta se desarrolla desde una nueva perspectiva que está basada en el método de proyección de datos propuesto por Pearson para un análisis de componentes principales. En este trabajo se realiza el desarrollo teórico que permite llegar a un problema de minimización y un algoritmo apropiado para obtener una solución al problema, con la ventaja de que las entradas faltantes en la matriz binaria también se van optimizando mientras se realiza el ajuste del modelo. Este enfoque además permite obtener la matriz de marcadores fila como una función de los marcadores columna, permitiendo la proyección de filas suplementarias sin tener que realizar nuevamente el proceso de optimización. vi Con el fin de ilustrar su uso práctico y la interpretación de los resultados, los métodos propuestos son aplicados usando conjuntos de datos reales en diferentes contextos. Finalmente, para dar un soporte práctico a los investigadores de las diferentes áreas del conocimiento, los métodos propuestos y desarrollados teóricamente, son puestos a disposición en un paquete escrito en lenguaje R, denominado BiplotML, el cual cuenta con toda la documentación de ayuda y puede ser instalado desde el repositorio de CRAN